\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
  \usepackage[colorlinks=true, linkcolor=black,citecolor=black]{hyperref}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amsmath} % AMS Math Package
\usepackage{amsthm} % Theorem Formatting
\usepackage{amssymb}    % Math symbols such as \mathbb
\usepackage{graphicx} % Allows for eps images
\usepackage[dvips,letterpaper,margin=1in,bottom=0.7in]{geometry}
\usepackage{tensor}
 % Sets margins and page size
\usepackage{amsmath}

\newtheorem{theo}{Théorème}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{defi}{Définition}


\begin{document}

{\noindent\Huge\bf  \\[0.5\baselineskip] {\fontfamily{cmr}\selectfont  Géogébra 1}         }\\[2\baselineskip] % Title
{ {\bf \fontfamily{cmr}\selectfont Logiciel pour l'enseignement}\\ {\textit{\fontfamily{cmr}\selectfont     \today}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\
{\large \textsc{Léo Brunswic} \\leo.brunswic.fr \hfill  leo.brunswic@univ-avignon.fr } % Author name
\\[1.4\baselineskip] 

Géogébra est un logiciel permettant de faire des constructions dans le plan, possiblement paramétrées, ou dans l'espace. 
Géogébra possède également quelques outils de calcul formel dont nous ne ferons pas usage. Je vous invite à regarder
\href{https://www.geogebra.org}{https://www.geogebra.org} pour la documentation et télécharger Géogébra sur vos propres machines.
Pour les utilisateurs d'Ubuntu, la page suivante sera utile : \href{https://doc.ubuntu-fr.org/geogebra}{https://doc.ubuntu-fr.org/geogebra}.

L'objectif de cette séance est de se familiariser avec Géogébra pour effectuer des constructions élémentaires de géométrie
et d'explorer superficiellement quelques fonctionnalités d'automatisation de Géogébra. 

\section{Rappels de géométrie plane} 
L'interface de travail est décomposée en sous-fenêtres : graphique, graphique2, graphique3D, algèbre, etc. 
Seuls "graphique", "algèbre" et "champ de saisie" nous seront utiles, on peut les ouvrir en allant dans "Affichage". 
Géogébra propose un certain nombre d'outils de géométrie plane comme placer des points, tracer une droite, tracer un cercle...
Ces outils se trouvent dans la barre d'outils :

\includegraphics[width=0.8\linewidth]{barre_outils.png}\\
On profite de l'exploration des possibilités de Géogébra pour se souvenir de nos cours de collège. Dans la fenêtre "graphique",
clique droit sur fond et décocher "axes".


\begin{exo}
      Construire un triangle $ABC$ quelconque sous géogébra et tracer
	\begin{enumerate}
	 \item le cercle circonscrit;
	 \item le cercle inscrit;
	 \item l'orthocentre;
	 \item le centre de gravité.
	\end{enumerate}
	Déplacer les points $A$, $B$ et $C$ observer la construction.
	
\end{exo}
\begin{exo}
       Placer trois points $A,B$ et $C$ dans le plan et construire à la règle et au compas (sous Géogébra)
	la parallèle à la droite $(AB)$ passant par $C$. Construire le parallélogramme $ABCD$.
	
	     
   \end{exo}


\begin{exo}     
	 Construire un triangle rectangle, afficher la longueur des côtés
\end{exo}
\begin{exo}
	 Construire une illustration du théorème de Thalès
\end{exo}

\section{Constructions règle et compas, théorème de Wantzel}
Les problèmes de constructions à la règle et au compas ont plus de 2000 ans. Chez les Grecs, ces constructions
sont centrales car ceux-ci fondent leurs mathématiques sur la géométrie. Le concept de nombre lui même est rammené à 
la géométrie. En partant d'une longueur de référence, l'unité, ils savent utiliser les théorèmes de Thalès et de Pythagore 
pour construire des rapports ou produits de longueurs et extraire des racines carrées. Pouvoir construire une racine cubique 
ou $\pi$ pose problème et l'impossibilité de ces constructions devra attendre le XIXe siècle. De manière informelle,
un point est constructible s'il est obtenu par une succession de constructions de droites et de cercles en partant de points 
données au préalable.
\begin{defi}[Points constructible] On se place dans le plan, on se donne un point $O$ et un point $I$. La distance $OI$
est supposé égale à 1.

L'ensemble des points constructibles est définit par récurrence. 
\begin{enumerate}
 \item $O$ et $I$ sont constructibles.
 \item Si $A,B,C$ et $D$ sont constructibles et si les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles, alors 
	le point d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$ est constructible.
 \item Si $A,B,C,D$ et $E$ sont constructibles alors les points d'intersections, s'ils existent, du cercle de 
 centre $A$ de rayon $BC$ et de la droite $(DE)$ sont constructibles.
 \item Si $A,B,C,D, E$ et $F$ sont constructibles alors les points d'intersections, s'ils existent, du cercle
 de centre $A$ de rayon $BC$  et du cercle de centre $D$ de rayon $EF$ sont constructibles.
\end{enumerate}

   
\end{defi}
\begin{defi}[Nombre constructibles]
 Un nombre est constructible s'il est la distance entre deux points constructibles.
\end{defi}


Pierre-Laurent Wantzel a démontré au début du XIXe siècle le théorème suivant.
\begin{theo}[Wantzel] Un nombre est constructible si et seulement s'il s'écrit avec les symboles $+,-,\div,\times$ et $\sqrt{\quad}$.
\end{theo}
\begin{exo} Placer deux points $O$ et $I$ dans le plan et tracer la droite $(OI)$.  On suppose que $OI=1$.
Placer deux points $A$ et $B$ sur la demi-droite $[OI)$. 
\begin{enumerate}
 \item Construire un point $C$ sur $[OI)$ tel que $OC=5$
 \item Construire un point $D$ sur $[OI)$ tel que $OD=OA+ OB$
 \item Construire un point $E$ sur $[OI)$ tel que $OE=OA\times OB$
 \item Construire un point $F$ sur $[OI)$ tel que $OF=OA/OB$
 \item Construire un point $G$ sur $[OI)$ tel que $OG=\sqrt{OA}$
\end{enumerate}
\end{exo}
On peut définir des fonctions additionne, multiplie et divise, racine carrée en utilisant "Créer un outil".

\begin{exo}
 Constuire le nombre 
 $$\frac{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}{3}$$
\end{exo}

Il est très tentant de se lancer dans un constuction règle et compas des polygones constructibles. 
\begin{theo}[Gauss-Wantzel] Un polygone à $n$ côté  est constructible si et seulement si $n=2^q p_1\cdots p_s$ où les
$p_i$ sont des nombres premiers distinct et  de la forme $2^{2^k}+1$.
\end{theo}
Très rapidement les constructions deviennent très complexes, même avec un outils tel que Géogébra. Il est cependant envisageable
d'écrire un algorithme qui fait de tels constructions.

\section{Coniques et résolution d'équation de degrés supérieurs}
Dans la section précédente, on n'autorisait que la construction de cercles et de droites. Avec ces limitations,
il ne nous était possible que de résoudre des équations de degré 1 (avec Thalès) ou 2 (avec Pythagore). En s'autorisant
a manipuler des coniques, d'autres équations deviennent accessibles.

Géogébra permet de tracer des coniques de plusieurs manières différentes. Il est possible de lui demander de résoudre une équation:

\includegraphics{saisie_conique.png}\\
Dans cet exemple, si les paramètres $a,b,c,d,e,f,g$ ne sont pas définit, il va automatiquement proposer de créer des curseurs 
correspondants. Un curseur est un paramètre réel que l'on peut faire varier via un curseur affiché à l'écran. Il est possible
de créer un curseur via le bouton \includegraphics[height=1cm]{curseur.png} de la barre d'outils.
\begin{exo}
 Reproduire l'exemple et jouer un peu avec les paramètres.
\end{exo}

On suppose à présent que l'on sait tracer une conique du moment que ses paramètres sont constructibles. Cela permet d'étendre
les points constructibles en ajoutant des points qui sont intersection de coniques.

\begin{exo}
 Tracer l'hyperbole d'équation $y=\frac{a}{x}$ et la parabole d'équation $y=x^2$. Construire le point d'intersection 
 de ces deux coniques.
 
 Quels nombres construisez vous de cette manière?
\end{exo}
La formule de Cardan permet de construire une racine d'un polynome de degré 3 arbitraire en utilisant les racines carré et cubique. 
Une formule similaire existe pour les polynômes de degré 4 n'utilisant que les racines carré, cubique et quartique. L'intersection 
de deux coniques permet ainsi de résoudre toutes les équations de degré 3 et de degré 4. Vous pouvez vérifier que les points d'intersection 
de deux coniques ont des coordonnées qui résolvent des équations de degré au plus 4 en les paramètres des coniques.  

Il est possible de demander à géogébra de tracer des courbes définit de manière implicite de degré plus grand. Par exemple les 
courbes elliptiques : 
$$y^3= a x^2+b x+c.$$
Ou encore des fonctions plus complexes du moment qu'elles sont résolues en l'une des variables.
$$y=sin(1/x) $$

\section{Courbes paramétrées et solveur différentiel}
La commande "courbe" ci-dessous permet de tracer des courbes paramétrées.
\\\includegraphics[width=0.9\linewidth]{courbe_param.png} \\

\begin{exo} Tracer les courbes paramétrées suivantes
 \begin{enumerate}
  \item $$\left \lbrace \begin{array}{rcl}
                 x&=& sin(2 t)\\
                 y&=& sin(3 t)
                \end{array}
\right. $$
  \item $$\left \lbrace \begin{array}{rcl}
                 x&=& R\left(\ln(|t/2|)+\cos(t)\right)\\
                 y&=& R \sin(t)
                \end{array}
\right. $$ 
  \item $$\left \lbrace \begin{array}{rcl}
                 x&=& (t-1)\ln|t|\\
                 y&=& (t+1)\ln|t|
                \end{array}
\right. $$
 \end{enumerate}
\end{exo}

Géogébra intègre également un solveur différentiel limité aux équations du premier ordre dans $\mathbb R^2$. 
\\ \includegraphics[width=0.9\linewidth]{equa_diff.png} \\
On s'intéresse à différentielle 
$$\left \lbrace \begin{array}{rcl}
                 x'&=& x(1-y)\\
                 y'&=& y(x-1)
                \end{array}
\right. $$
\begin{exo}
 Résoudre numériquement l'équation différentielle avec des paramètres.
 Trouver une intégrale première et tentez d'en tracer des lignes de niveau de manière implicite.
\end{exo}

\section{Problèmes supplémentaires}
\begin{exo} On colorie les points du plan avec trois couleurs. On cherche à colorier les points de sorte que deux points distants
de 1 sont de couleurs différentes. Montrer que cela n'est pas possible et construire une illustration Géogébra de votre preuve.
\end{exo}
\begin{exo} Constuire les polygônes constructibles ayant moins de 20 côtés
\end{exo}
  
\begin{exo}
 Proposer une petite application interactive illustrant l'influence des coefficients d'un polynômes sur deuxième ou troisième degré.
\end{exo}
\begin{theo}[Varillon] Soient $ABCD$ un quadrilatère dans le plan. Le quadrilatère formé formé des milieux des cotés de $ABCD$ est 
un parallélogramme.
\end{theo}

\begin{exo}
Proposer une petite application interactive illustrant le théorème de Varillon
\end{exo}
\begin{exo}
 Proposer une petite application résolvant graphiquement un système deux équations deux inconnues.
\end{exo}


\end{document}