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\title{Geometric problems in gravitation theory}
\author{Léo Brunswic}
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\def\M{\mathcal{M}}
\def\SS{\mathscr{S}}
\def\T{\mathscr T}
\def\P{\mathbb P}
\def\s{\mathfrak S}
\def\v{\mathfrak v}
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\def\riem{\mathrm{Riem}}
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\newtheorem{theo}{\bf{Théorème}}
\newenvironment{boxedtheo}
  {\begin{mdframed}\begin{theo}}
  {\end{theo}\end{mdframed}}
\newtheorem{lem}[theo]{Lemme}
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\newtheorem{rem}{Remarque}
\newenvironment{proof}{  \underline{\it{Preuve}:}}{~\\ \hfill $\square$\\}
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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}
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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}
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\item[\hskip \labelsep {\bfseries #1}]}{\end{trivlist}}
\newtheorem{conjecture}{Conjecture}
\newcommand{\fonction}[5]{\displaystyle#1:\begin{array}{l|rcl}
& \displaystyle #2 & \longrightarrow & \displaystyle #3 \\
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\newcommand{\fonctionn}[4]{\displaystyle\begin{array}{l|rcl}
& \displaystyle #1 & \longrightarrow & \displaystyle #2 \\
    & \displaystyle #3 & \longmapsto & \displaystyle #4 \end{array}}
\title{Formule Taylor}
\newcommand{\subsetcirc}{\mathrel{\subset\!\!\!\!\!\circ}}

\newtheorem{discu}{Discussion}[theo]
\begin{document}
 \begin{center}
 \huge
 TD Probabilités et statistiques 
 \end{center}
  \begin{center}
  
 Corrections
 \end{center}
 \section*{TD 3}
 
 \ \\
 \underline{Exercice 4}

 \begin{enumerate}
  \item On pose l'événement $A:$"avoir la bonne boite après le  premier choix". Il tire au hasard une boite parmis trois. La situation est équiprobable donc 
  la probablité de tirer la bonne boite est $\mathbb P(A)=1/3$.
  \item Posons l'événement $B:$"avoir la bonne boite après le deuxième choix".
  Examinons les deux stratégies. 
  
  Si l'on décide de garder la première boite choisie quoi qu'il arrive, on a $\mathbb P_A(B)=1$ et $\mathbb P_{\bar A}(B)=0$
  donc $$\mathbb P(B)=\mathbb P(A) \mathbb P_A(B)+\mathbb P(\bar A) \mathbb P_{\bar A}(B) = \frac{1}{3}\times 1 + \frac{2}{3}\times 0=\frac{1}{3}$$
  
  Si l'on décide de changer de boite, on a
  
  $\mathbb P_A(B)=0$ et $\mathbb P_{\bar A}(B)=1$
  donc $$\mathbb P(B)=\mathbb P(A) \mathbb P_A(B)+\mathbb P(\bar A) \mathbb P_{\bar A}(B) = \frac{1}{3}\times 0+ \frac{2}{3}\times 1=\frac{2}{3}$$
  
  Par conséquent, le joueur  a intérêt à changer de boite.
 \end{enumerate}

 \ \\  \underline{Exercice 8}
 
 L'univers $\Omega$ est l'ensemble des arrangements de 6 parmis 6 donc $\mathrm{Card}~ \Omega = 6!$. Il est supposé muni 
 de la mesure d'équiprobabilité.  
 donc $$\mathbb P(X=k)=\frac{\mathrm{Card}~\{\text{cas favorables} \}}{\mathrm{Card}~ \Omega}$$
 
 Pour constuire un cas favorable on peut choisir l'homme le plus haut classé (un choix parmis 3), puis choisir les 
 femmes qui sont classées avant lui ($k-1$ choix parmis 3 sans remise et avec ordre) enfin choisir un classement des restant
 après l'homme en question ($6-k$ choix parmis $6-k$ sans remise et avec ordre). 
 
 $$\mathbb P(X=k)= \frac{A^1_3 A^{k-1}_{3} A^{6-k}_{6-k}}{6!}=\left\{\begin{array}{ll}
                                                                      \frac{1}{2}& \text{Si } k=1\\
                                                                      \frac{3 }{10}& \text{Si } k=2\\
                                                                      \frac{3}{20}& \text{Si } k=3\\
                                                                      \frac{1}{20}& \text{Si } k=4\\
                                                                      0& \text{Si } k\geq 5\\
                                                                     \end{array}
 \right. $$
 
 \section*{TD 4}
  \ \\
 \underline{Exercice 6}
    Soit $\Omega=\{1,\cdots, 6\}$,     $X$ est une variable aléatoire sur $\Omega$ telle que 
    pour tout $k\in \Omega$, $\mathbb P(X=k)=ck$ pour un certain $c\in \R$. 
    
    Déterminer la loi de $X$ revient à déterminer $c$. 
    Or $$1=\mathbb P(\Omega)=\sum_{k=1}^6 \mathbb P(X=k)=\sum_{k=1}^6 ck=c \frac{7\times 6}{2}$$
    Donc $$c=\frac{1}{21}$$
    
    \ \\
 \underline{Exercice 7}
  
  \begin{enumerate}
   \item On peut supposer que la loi suivi par $X$ sera une loi uniforme sur $[0,1]$. 
   \item $$\mathbb P(0,2\leq X\leq 0,5)=\int_{0,2}^{0,5} 1\d t=0,3$$
  \end{enumerate}

  
 \section*{TD 5}
   \ \\
  \underline{Exercice 1}

   On pose $T$ la variable aléatoire donnant le temps d'attente avant la première alerte du service secours après 22h en minute.
   $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, c'est à dire une loi à densité ($\Omega=\R_+)$ de densité $t\mapsto \lambda e^{-\lambda t}$.
   On donne $\lambda=0.1$.
   \begin{enumerate}
    \item $\P(T\geq 30)=\lambda\int_{30}^{+\infty}e^{-t\lambda}\d t=e^{-3}$.
    \item $\P(T\geq 60)=\lambda\int_{60}^{+\infty}e^{-t\lambda}\d t=e^{-6}$.
    \item $P(T\geq 60 / T\geq 30)=\P(T\geq 30)=e^{-3}$ car la loi exponentielle est sans mémoire. On peut aussi utiliser la formule de Bayes : 
    \begin{eqnarray}
     \P(t\geq 60/ T\geq 30)&=&\frac{\P(T\geq 30 \cap T \geq 60)}{\P(T\geq 30)}\\
     &=& \frac{\P(T\geq 60)}{\P(T\geq 30)} \\
     &=& \frac{e^{-6}}{e^{-3}}\\
     &=& e^{-3}
    \end{eqnarray}

	  
   \end{enumerate}

  \ \\
  \underline{Exercice 2}
    \begin{enumerate}
     \item \begin{enumerate}
            \item \begin{itemize}
                   \item Est dans la table
		   \item $\P(X<-0,2)=\P(X>0,2)=1-\P(X<0,2)$ qui est dans la table
		   \item $\P(X\geq -1,54)=\P(X\leq 1,54)$ qui est dans la table
		   \item $\P(-0,63\leq X \leq 1,2)=\P(X \leq 1,2)-\P(X< -0,63)=\P(X\leq 1,2)-(1-\P(X\leq 0,63))$ qui est dans la table
                  \end{itemize}
	    \item Lire la table des fractile cette fois
           \end{enumerate}
      \item \begin{enumerate}
             \item La variable aléatoire $\frac{Y-2}{3}$ suit une loi normale réduite centrée. 
             \item La méthode est de centrer et réduire la variable aléatoire de sorte à pouvoir utiliser les tables connues. 
		   \begin{eqnarray}
		    \P(0\leq Y\leq 3)&=&\P\left(-\frac{2}{3}\leq \frac{Y-2}{3} \leq \frac{1}{3}\right) \\
		    &=& \P\left(\frac{Y-2}{3} \leq \frac{1}{3}\right)-\P\left(-\frac{2}{3}\geq \frac{Y-2}{3}\right)\\
		    &=& \P\left(\frac{Y-2}{3} \leq \frac{1}{3}\right)-\left(1-\P\left(\frac{Y-2}{3}\leq \frac{2}{3}\right)\right)
		   \end{eqnarray}
		   On peut maintenant utiliser les tables.
	      \item  De la même manière, avant de pouvoir utiliser les tables, il faut normaliser et centrer.
		  $$0,05=\P(Y>u)=\P\left(\frac{Y-2}{3}>\frac{u-2}{3}\right) $$
		  donc 
		  $$0,95 =\P\left(\frac{Y-2}{3}\leq \frac{u-2}{3}\right)  $$
		  Utiliser la table des fractiles pour trouver $ \frac{u-2}{3}$ et ensuite trouver $u$.
            \end{enumerate}

    \end{enumerate}

   \ \\
  \underline{Exercice 3}
  
  Soit $X$:" le poid de poudre dans le flacon". $X\sim \mathcal N(101,1; 1,1 )$ 
  On pose $Y=\frac{X-101,1}{1,1}$, $Y\sim \mathcal N(0,1)$.
   \begin{enumerate}
    \item $\mathbb P(X<100)=\mathbb P \left(\frac{X-101,1}{1,1}<\frac{-1,1}{1,1j}\right)=\mathbb P\left(Y<-1\right)$
  Comme  $Y$ suit une loi normale centrée réduite, on peut chercher la valeur dans les tables.
    
    \item On souhaite $\mathbb P(Y<-\frac{101,1-m}{1,1})<4\%$
   \end{enumerate}

   \ \\
  \underline{Exercice 4}
    \begin{enumerate}
     \item La minute d'arrivée $X$ suit une loi uniforme $\mathcal U([0,45])$.
     \item $\mathbb E(X)=\frac{45-0}{2}=22,5$ donc Gauthier arrive en moyenne à $7$ h $22$ minutes et $30$ secondes.
     \item \begin{itemize}
            \item $\P(X\leq 20)=\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$
            \item $\P(X\geq 20)=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$
            \item $\P(20\leq X \leq 30)=\frac{30}{45}-\frac{20}{45}=\frac{2}{9}$ 
           \end{itemize}
    \item $\P(X\geq 30 / X\geq 20)=\frac{\P(X\geq30 \cap X\geq 20)}{\P(X\geq 20)}=\frac{20/45}{30/45}=\frac{2}{3}$
    \end{enumerate}

     \ \\
  \underline{Exercice 5}
     \begin{enumerate}
      \item $\Omega=\{pile, (face,pile), (face,face)\}$ 
	   \begin{itemize}
	    \item  $\P(X=1)=\P(pile)=\frac{1}{2}$
	    \item $\P(X=0)=\P((face,pile))=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
	    \item $\P(X=-2)=\P((face,face))=\frac{1}{4}$
	   \end{itemize}
      \item On note $F_X$ la fonction de répartition de $X$.  \\
      
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (-3,0) -- (3,0);
\draw (1,0) node[above right] {$gain$};
\draw (1,0) node {$|$};
\draw (-2,0) node [below]{$-2$};
\draw (1,0) node [below]{$1$};
\draw [->] (0,-1) -- (0,1);
\draw (0,1) node[above right] {$F_X(gain)$};
\draw (0,1) node {$-$};
\draw [very thick, red] (-3,0)--(-2,0)--(-2,0.25)--(0,0.25)--(0,0.5)--(1,0.5)--(1,1)--(3,1);
\end{tikzpicture}


      \item $\mathbb E(X)=-2 \times \frac{1}{4}+0\times \frac{1}{4}+1\times \frac{1}{2}=0$
      \item Elle n'apporte pas grand chose...
     \end{enumerate}

     
   
\section*{TD 6}
     \ \\
  \underline{Exercice 1}
  \begin{enumerate}
   \item \begin{itemize}
          \item $\P(G_1=15)=\frac{1}{6}$
          \item $\P(G_1=0)=\frac{1}{2}$
          \item $\P(G_1=6)=\frac{1}{3}$
         \end{itemize}
    \item\begin{itemize} 
	    \item $\E(G_1)=\frac{1}{6}\times 15+\frac{1}{2}\times 0+\frac{1}{3}\times 6=4,5$
	    \item $\V(G_1)=\E(G_1^2)-\E(G_1)^2=\frac{1}{6}\times 15^2+\frac{1}{2}\times 0^2+\frac{1}{3}\times 6^2-4,5^2=29.25$
         \end{itemize}
         
  \end{enumerate}

       \ \\
  \underline{Exercice 2}

       \begin{enumerate}
        \item \begin{enumerate}
               \item Chaque tirage est une epreuve de bernoulli de paramètre $p=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$. Les tirages sont avec remise donc
               \textbf{indépendants et identiques}. 
               
               X suit donc une loi binomiale de paramètre $n=5$ et $p=\frac{1}{4}$.

               \item (Formule de cours) $\mathbb E(X)=\frac{5}{4}$, \quad $\V(X)=5\frac{1}{4}(\frac{3}{4})=\frac{15}{16}$
              \end{enumerate}
	  \item \begin{enumerate}
	         \item $Y=2X-3(5-X)=5(X-3)$
	         \item $\E(Y)=\E(5(X-3))=5(\E(X)-3)=5\left(\frac{5}{4}-3\right)=-\frac{35}{4}$
	         
	         \item Tout d'abord $\Omega=\{-15,-10,-5,0,5,10\}$
	         $\P(Y=k)=\P(X=3+\frac{k}{5})=\binom{5}{3+\frac{k}{5}}\left(\frac{1}{4}\right)^{3+\frac{k}{5}} \left(\frac{3}{4}\right)^{3+\frac{k}{5}}$
	        \end{enumerate}

       \end{enumerate}
       \ \\
  \underline{Exercice 3}

     On pose $X$ le nombre de client dans la journée du magasin.
   D'après le cours: $\P(X=n)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!}$ et $\E(X)=\lambda$.
   Or l'énoncé donne $\E(X)=4$ donc $\lambda=4$.
   \begin{eqnarray}
    \P(X\geq 6)=1-P(X\leq 5)=1-e^{-4}-\cdots-e^{-4}\frac{1024}{120}
   \end{eqnarray}

   
       \ \\   
  \underline{Exercice 4}
  $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ donc $\P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}$ et $\E(X)=\lambda$. 
  On souhaite $\P(X\leq 1)\leq 0,01$ donc $1- e^{-\lambda}\leq 0,01$ et donc $\lambda \geq \ln(100)$.
  Ainsi $\E(X)=\lambda\geq \ln(100)$.
  
  
       \ \\
  \underline{Exercice 5}
  \begin{enumerate}
   \item Pour que $f$ soit une densité, il faut qu'elle soit continue par morceau, positive et d'intégrale 1.
	 \begin{eqnarray}
	  \int_\R f(x)\d x&=& \int_{-\infty}^0 0 \d x + \int_0^1 Kx(1-x)\d x+\int_1^{+\infty} 0\d x\\
	  &=&0+ \frac{K}{2}-\frac{K}{3}+0\\
	  &=&\frac{K}{6}\\
	  &=&1
	 \end{eqnarray}
Donc $K=6$
\item Espérence et variance existent car $xf(x)$ et $x^2f(x)$ sont clairement intégrable d'intégrale finie.

\begin{itemize}
       \item $\E(X)=\int_0^1 x 6 x(1-x)\d x = \frac{6}{3}-\frac{6}{4}=\frac{1}{2}$. \\
      Mais ça on le savait déjà parce que la densité est symétrique par rapport à $\frac{1}{2}$ et $x f(x)$ est clairement d'intégrale finie.
      
      \item        $\V(X) = E(X^2)-\E(X)^2= \int_0^1 x^2\times 6x(1-x)\d x-\frac{1}{4} = \frac{6}{4}-\frac{6}{5}-\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$
      \end{itemize}


  \end{enumerate}
  
 \section*{TD 7}
       \ \\
  \underline{Exercice 1}
	\begin{itemize}
	 \item La somme des probabilités vaut 1 donc $$\frac{10}{40}+a+\frac{5}{40}+\frac{8}{40}+\frac{5}{40}+\frac{4}{40}=1$$
	et donc $$a=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}$$
	\item \begin{itemize}
	       \item
		      \begin{tabular}{|c|c|c|}
		       \multicolumn{3}{c}{$\P(X=x)$}\\
		       \hline $x$ &0&1\\ \hline  &&\\\hline &&  \\ \hline
		      \end{tabular}

	       \item \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
		       \multicolumn{4}{c}{$\P(Y=y)$}\\
		       \hline $y$ &0&1\\ \hline  &&\\\hline &&  \\ \hline
		      \end{tabular}
	      \end{itemize}
	    \item \begin{eqnarray}Cov(X,Y)&=&\E(XY)-\E(X)\E(Y)\\
	           &=& 0\times \frac{23}{40}+\frac{-1}{2}\times\frac{8}{40}+0\times \frac{5}{40}+1\times \frac{4}{40}-\frac{17}{40}\left(-\frac{1}{2}\frac{18}{40}+\frac{9}{40}\right)\\
	           &=& -\frac{1}{10}+\frac{1}{10}-0\\
	           &=& 0
	          \end{eqnarray}
     
	\end{itemize}

         \ \\
  \underline{Exercice 2}
         \ \\
  \underline{Exercice 3}
         \ \\
  \underline{Exercice 4}
         \ \\
  \underline{Exercice 5}
 \section{TD 8}

\ \\ \underline{Exercice 1}
%\begin{enumerate}
% \item Successions de tirages \textbf{sans remise} donc  $X$ \textbf{ne }suit \textbf{pas} une loi géométrique.
%      La loi de $(X,Y)$ peut être calculé directement par un argument combinatoire,
%      avoir la boule blanche au tirage $x$ signifie qu'on a tiré $x-1$ boules noires puis une boule blanche. Avoir tiré la seconde boule 
%      blanche en $y$ signifie qu'après avoir tiré la première boule blanche, on a tirée $y-x-1$ boules noires puis une boule blanche \textbf{puis que des boules noires}.

\ \\
%      En posant $\Omega=\{\text{tirages possibles}\}$, $\Omega$ est muni de la loi d'équiprobabilité. 
 %           Pour construire un cas favorable, il faut et il suffit de choisir $x-1$ boules noires parmis $8$. Puis $1$ boule blanche parmis $2$. Puis 
  %          $y-x-1$ boules noires parmis $8-(x-1)$. Puis $1$ boule blanche parmis $1$ puis $10-y$ parmis $10-y$. 
      
  %    $$\P(X=x,Y=y)=\frac{\text{Cas favorables}}{\mathrm{Card} (\Omega)}=\frac{A^{x-1}_8 A^1_2 A^{y-x-1}_{8-{x-1}} A^{1}_{1} A^{10-y}_{10-y} }{A^{10}_{10}}=\frac{2A^{x-1}_8  A^{y-x-1}_{8-(x-1)} (10-y)! }{10!}=\frac{2A^{y-2}_8 }{A^y_{10}}$$

  %    \item 
%\end{enumerate}

\ \\ \underline{Exercice 2}
\begin{enumerate}
 \item $\P(X=-a)=\frac{19}{37}$ et  $\P(X=a)=\frac{18}{37}$ donc $\E(X)=\frac{19}{37}(-a)+\frac{18}{37}a=-\frac{a}{37}$. 
 \begin{eqnarray}\V &=& \frac{19}{37}\left(-a+\frac{a}{37}\right)^2+\frac{18}{37}\left(a+\frac{a}{37}\right)^2\\
 &=& \frac{19\times 36^2+18\times38^2}{37^3}
 \end{eqnarray}
 \item
 \item
\end{enumerate}

\ \\ \underline{Exercice 3}
\ \\ \underline{Exercice 4}


\end{document}
